13乗根 - Ryohei’s neuroscience notes

１００けた数字、１３乗根の暗算で世界記録、１１．８０秒。このニュースをみて、早く暗算できる方法はないかな、と考えてるのだが、どうもどれもいまいちだ。

13乗根なら、もとの数を変えても答えにそれほど変化はないだろうということはわかる。実際最小の100桁の数である、1×10¹⁰⁰の１３乗根は、 $(1 \times 10^{100})^{1/13} = 10^{7.69} = 4.9 \times 10^7$ 。最大のものは、 $(1 \times 10^{101})^{1/13} = 10^{7.79} = 5.9 \times 10^7$ だから、その差はたった20%。この精度でよこれば5×10⁷と答えておけばよい。

対数表を覚えていれば、かなりいけるだろう。ファインマンは、対数表を結構覚えていたらしいしね。例えば1.757×10¹⁰⁰の１３乗根なら、

1.757×10¹⁰⁰ = A¹³
13log(A) = log1.757 + 100
log(A) = (100.244)/13 = 7.711
A = 10^7.711 = 10^0.711×10⁷ = 5.14×10⁷

このコンテストで、答えは７桁の精度で求める必要があるので、対数表もある程度表を覚えていたとしても、さらなる補正の計算が必要だろう。( $\ln(x)=1 + \frac{x-1}{x+1} + \frac{1}{3} \frac{(x-1)^3}{(x+1)^3} ....$ など)。

100桁の計算限定のコンテストだけが目的なら、1×10¹⁰⁰、1.1×10¹⁰⁰ ...程度の答えを覚えておいて差分（Δ）だけ、
$1 + \frac{\Delta}{13} - \frac{12\Delta^2}{13^2 3!} + ...$
などと補正していけば、いちおういけるだろう。7桁の精度をだすためには7次くらいの計算が必要だけど、死ぬほど大変というわけでもない。

だれか、早く計算するトリックを考え付いたら教えてね。